Spørsmål:
Hvordan finne og bruke Clausius-Clapeyron-ligningen
RobChem
2015-01-02 18:58:56 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Jeg vet hvordan jeg skal få ligningen fra Clapeyron-ligningen, men jeg har et spørsmål angående integrasjonen langs en fasegrense og et lite trinn i avledningen som jeg vil gjøre klart når jeg når det trinnet. For det første Clapeyron-ligningen:

$$ \ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} T} = \ frac {\ Delta S} {\ Delta V} $$

Eller alternativt ved å gjenkjenne at $ \ Delta G = 0 $ når to faser er i likevekt; $ \ Delta G = \ Delta H - T \ Delta S $ kan omorganiseres for å gi:

$$ \ Delta S = \ frac {\ Delta H} {T} $$

Å erstatte dette i den første ligningen gir:

$$ \ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} T} = \ frac {\ Delta H} {T \ Delta V} $$

Ved en fasegrense for fast / gass eller væske / gassfase er det rimelig å anslå at $ \ Delta V \ approx V_ {m, \ text {gas}} $ som $ \ Delta V = V_ {m, \ text {gas}} - V_ {m, \ text {condensed}} $ since $ V_ {m, \ text {gas}} \ gg V_ {m, \ text {condensed} } $

Følgelig, ved å bruke tilstandsligningen for en perfekt gass og erstatte $ \ Delta V $ i den andre formen av Clapeyron-ligningen, oppnås følgende resultat:

$$ \ frac1p \ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} T} = \ frac {\ mathrm {d} \ ln p} {\ mathrm {d} T} = \ frac {\ Delta H } {RT ^ 2} $$

Men hvorfor er $ \ frac1p \ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} T} = \ frac {\ mathrm {d} \ ln p} {\ mathrm {d} T} $?

Det følgende trinnet er trinnet jeg ikke forstår I forelesningsdelingen min vises dette trinnet som:

$$ \ int_ {p_1} ^ {p_2} \ frac1p \ mathrm {d} p = \ int_ {T_1} ^ {T_2} \ frac {\ Delta H} {RT ^ 2} \ mathrm {d} T $$

Hvorfor kan venstre side integreres med hensyn til $ p $, men likevel høyre side kan integreres med hensyn til $ T $. Jeg kan ikke forstå dette. Andre tilfeller innen termodynamikk når integrering brukes slik, begge sider er integrert med hensyn til samme variabel. For eksempel å finne ut hvordan $ H $ varierer med $ p $. Jeg vil raskt gå gjennom det jeg mener uten mye verbal forklaring:

$$ \ mathrm {d} H = T \ mathrm {d} S + V \ mathrm {d} p = \ left (\ frac {\ partial H} {\ partial S} \ right) _p \ mathrm { d} S + \ left (\ frac {\ partial H} {\ partial p} \ right) _S \ mathrm {d} p $$

Følgelig for en mol av en perfekt gass:

$$ V = \ left (\ frac {\ partial H} {\ partial p} \ right) _S = \ frac {RT} p $$

Dermed:

$$ \ int_ {p_1} ^ {p_2} \ left (\ frac {\ partial H} {\ partial p} \ right) _S \ mathrm {d} p = \ int_ {p_1} ^ {p_2} \ frac {RT} p \ mathrm {d} p $$

Siden $ \ left (\ frac {\ partial H} {\ partial p} \ right) _S \ mathrm {d} p = \ mathrm { d} H $ med en konstant $ T $ ( Jeg tror dette er riktig - vær så snill å avklare )

$$ \ int_ {p_1} ^ {p_2} \ mathrm {d} H = RT \ int_ {p_1} ^ {p_2} \ frac {1} p \ mathrm {d} p $$

Dette kan åpenbart integreres ganske enkelt, men dette illustrerer bare poenget mitt angående variabelen som integrasjonen utføres mht. Sikkert må det være det samme på både RHS og LHS i ligningen?

En svar:
John H. K.
2015-01-02 21:35:25 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Se Integrering ved erstatning, se også dette spørsmålet og et annet spørsmål på math.SE. Dette er regelen vi må bruke her:

$$ \ int_ {x_0} ^ {x_1} f (u (x)) u '(x) \, \ mathrm dx = \ int_ {u (x_0)} ^ {u (x_1)} f (u) \, \ mathrm du $$

Så vi går fra denne ligningen: $$ \ frac1p \ frac {\ mathrm dp} {\ mathrm dT} = \ frac {\ mathrm d \ ln p} {\ mathrm dT} = \ frac {\ Delta H} {RT ^ 2}, $$ og integrer over temperatur: $$ \ int_ {T_1} ^ {T_2} \ frac1p \ frac {\ mathrm dp} {\ mathrm dT} \, \ mathrm dT = \ int_ {T_1} ^ {T_2} \ frac {\ Delta H} {RT ^ 2} \, \ mathrm dT, $$ Now vi bruker den første ligningen med $ f = \ frac {1} {p} $, $ p = u $, og $ x = T $: $$ \ int_ {T_1} ^ {T_2} \ frac1p \ frac {\ mathrm dp} {\ mathrm dT} \, \ mathrm dT = \ int_ {p_1 (T_1)} ^ {p_2 (T_2)} \ frac1p \, \ mathrm dp = \ int_ {T_1} ^ {T_2} \ frac {\ Delta H} {RT ^ 2} \, \ mathrm dT $$

Bonusspørsmål: Det er bare anvendelsen av kjederegelen, nemlig $ $ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} z = \ frac {\ mathrm dz} {\ mathrm dy} \ frac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} $$ som, hvis brukt, fører til $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dT} \ ln p = \ frac {\ mathrm d \ ln (p)} {\ mathrm dp} \ frac {\ mathrm dp} {\ mathrm dT} = \ frac {1} {p} \ fra c {\ mathrm dp} {\ mathrm dT}. $$

Tusen takk for ditt svar. Jeg vil imidlertid bestride påstanden om at spørsmålet mitt er utenfor emnet, fordi det krever matematikk å svare på det. Kjemi krever et høyt nivå av matematikk, og det er faktisk integrert i emner som termodynamikk. Hvis jeg hadde lagt det ut på matte-delen på dette nettstedet, forventer jeg et svar som klager over at innholdet i stor grad er kjemibasert. Jeg mener spørsmål som dette bør være mer velkomne. Tross alt ble teorien bak dette spørsmålet undervist i min første periode i Oxford - å studere kjemi. Imidlertid takk igjen for svaret.
Vel, jeg var rett og slett ikke sikker på om det var utenfor emnet eller ikke - Jeg er ny innen kjemi. SE, jeg er ikke så vant til etiketten her. Og ja, på matematikk. SE kan det være omvendt med dette spørsmålet.
Jeg forstår det helt; min kommentar var mer en generell kommentar som jeg håper vil bli sett av Chemistry SE-samfunnet i stedet for noe personlig angrep på deg - jeg er fortsatt veldig takknemlig for svaret ditt. Jeg tror bare at noen ganger helt passende spørsmål ikke blir godt mottatt på dette nettstedet, jeg gjorde bare et forsøk på å endre det.
Beklager hvis du ble fornærmet.
Ingen lovbrudd tatt!


ⓘ
Denne spørsmålet ble automatisk oversatt fra engelsk.Det opprinnelige innholdet er tilgjengelig på stackexchange, som vi takker for cc by-sa 3.0-lisensen den distribueres under.
Loading...